Formelhefte i matematikk

Formler og regler for 1P, 2P, 1T, R1, R2, S1 og S2. Søk etter et emne, en regel eller et fag, for eksempel «R2».

Potenser og røtter

1P · 1T · S1

Regel	Formel
Produkt	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
Kvotient	$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$
Potens av potens	$(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$
Potens av produkt	$(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$
Potens av brøk	${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$
Null som eksponent	$a^{0} = 1$
Negativ eksponent	$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$
Kvadratrot	$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$
n-te rot	$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$
Brøkeksponent	$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$
Regning med røtter	$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
Standardform	$a \cdot 10^{n}, 1 \leq \| a \| < 10, n er et helt tall$

Algebra og brøk

1P · 1T

Regel	Formel
1. kvadratsetning	$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
2. kvadratsetning	$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
Konjugatsetningen	$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
Addisjon av brøker	$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}$
Multiplikasjon av brøker	$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
Divisjon av brøker	$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
Absoluttverdi	$\| a \| = a når a \geq 0, \| a \| = - a når a < 0$

Likninger og ulikheter

1T · R1 · S1

Regel	Formel
Andregradsformelen (abc-formelen)	$a x^{2} + b x + c = 0 \Leftrightarrow x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
Diskriminanten	$D = b^{2} - 4 a c$
Antall løsninger	$D > 0 : to D = 0 : én D < 0 : ingen$
Faktorisering	$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
Summen og produktet av løsningene	$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$
Fullstendig kvadrat	$x^{2} + b x = {(x + \frac{b}{2})}^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2}$
Fortegnsskjema	Faktoriser uttrykket og finn fortegnet til hver faktor. Brukes for ulikheter av typen f(x) > 0.
Polynomdivisjon og faktorsetningen	$P (a) = 0 \Leftrightarrow (x - a) er en faktor i P (x)$

Logaritmer

1T · R1 · S1

Regel	Formel
Briggske logaritmer (titallslogaritmen)	$\lg x = y \Leftrightarrow 10^{y} = x, x > 0$
Naturlige logaritmer	$\ln x = y \Leftrightarrow e^{y} = x, x > 0$
Tallet e	$e \approx 2,71828$
Logaritmen av et produkt	$\lg (a \cdot b) = \lg a + \lg b$
Logaritmen av en brøk	$\lg \frac{a}{b} = \lg a - \lg b$
Logaritmen av en potens	$\lg a^{x} = x \cdot \lg a$
Invers sammenheng	$\lg 10^{x} = x 10^{\lg x} = x \ln e^{x} = x e^{\ln x} = x$
Spesielle verdier	$\lg 1 = \ln 1 = 0 \lg 10 = \ln e = 1$
Eksponentiallikning	$a^{x} = b \Leftrightarrow x = \frac{\lg b}{\lg a}$
Omskriving av grunntall	$a^{x} = e^{x \ln a}$

Prosent, vekst og indeks

1P · 2P · S1

Regel	Formel
Prosentdel	$prosent = \frac{del}{hel} \cdot 100 %$
Vekstfaktor ved økning på p %	$v = 1 + \frac{p}{100}$
Vekstfaktor ved nedgang på p %	$v = 1 - \frac{p}{100}$
Ny verdi	$ny verdi = gammel verdi \cdot v$
Gjentatt prosentvis endring	$K_{n} = K_{0} \cdot v^{n}$
Rente med renters rente	$K_{n} = K_{0} \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{n}$
Prosentpoeng	Forskjellen mellom to prosenttall, for eksempel fra 20 % til 25 % er 5 prosentpoeng.
Indeks	$indeks = \frac{pris}{pris i basisåret} \cdot 100$
Reallønn	$reallønn = \frac{nominell lønn}{KPI} \cdot 100$
Kroneverdi	$kroneverdi = \frac{100}{KPI}$
Pris uten og med merverdiavgift (25 %)	$pris med mva = pris uten mva \cdot 1,25$

Forhold, proporsjonalitet og enheter

1P · 2P

Regel	Formel
Målestokk	$målestokk = \frac{lengde på kart eller tegning}{lengde i virkeligheten}$
Fart, strekning og tid	$v = \frac{s}{t}$
Proporsjonale størrelser	$y = k \cdot x$
Omvendt proporsjonale størrelser	$y = \frac{k}{x} x \cdot y = k$
Lengde	1 km = 1 000 m, 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm, 1 mil = 10 km
Areal	1 m² = 100 dm² = 10 000 cm², 1 km² = 1 000 000 m², 1 dekar (daa) = 1 000 m², 1 hektar = 10 000 m²
Volum	1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³, 1 dm³ = 1 L, 1 L = 10 dL = 100 cL = 1 000 mL
Fart	1 m/s = 3,6 km/h

Omkrets og areal

1P · 2P · 1T

Figur	Omkrets	Areal
Rektangel	$O = 2 l + 2 b$	$A = l \cdot b$
Kvadrat	$O = 4 s$	$A = s^{2}$
Trekant	$O = a + b + c$	$A = \frac{g \cdot h}{2}$
Parallellogram	$O = 2 a + 2 b$	$A = g \cdot h$
Trapes	$O = a + b + c + d$	$A = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$
Sirkel	$O = 2 π r = π d$	$A = π r^{2}$
Sektor (v grader)	$bue = \frac{v}{360^{\circ}} \cdot 2 π r$	$A = \frac{v}{360^{\circ}} \cdot π r^{2}$

Volum og overflate

1P · 2P

Figur	Volum	Overflate
Prisme	$V = G \cdot h$	summen av sideflatene
Rett sylinder	$V = π r^{2} h$	$O = 2 π r^{2} + 2 π r h$
Pyramide	$V = \frac{G \cdot h}{3}$	summen av sideflatene
Rett kjegle (s er sidekanten)	$V = \frac{π r^{2} h}{3}$	$O = π r^{2} + π r s$
Kule	$V = \frac{4}{3} π r^{3}$	$O = 4 π r^{2}$

Pytagoras og trigonometri i trekanter

1P · 1T

Regel	Formel
Pytagoras’ setning (c er hypotenusen)	$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
Sinus	$\sin v = \frac{motstående katet}{hypotenus}$
Cosinus	$\cos v = \frac{hosliggende katet}{hypotenus}$
Tangens	$\tan v = \frac{motstående katet}{hosliggende katet}$
Arealsetningen	$A = \frac{1}{2} a b \sin C$
Sinussetningen	$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
Cosinussetningen	$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$
Vinkelsum i trekant	$A + B + C = 180^{\circ}$
Formlike trekanter	Like store vinkler, og forholdet mellom samsvarende sider er det samme.

Eksakte trigonometriske verdier

1T · R1 · R2

Vinkel	Radianer	sin	cos	tan
0°	$0$	$0$	$1$	$0$
30°	$\frac{π}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45°	$\frac{π}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
60°	$\frac{π}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90°	$\frac{π}{2}$	$1$	$0$	ikke definert
180°	$π$	$0$	$- 1$	$0$
270°	$\frac{3 π}{2}$	$- 1$	$0$	ikke definert
360°	$2 π$	$0$	$1$	$0$

Funksjoner

1P · 1T · R1 · S1

Funksjon	Formel	Merknad
Lineær funksjon	$f (x) = a x + b$	a er stigningstallet, b er konstantleddet
Stigningstall	$a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$	gjennom punktene (x₁, y₁) og (x₂, y₂)
Ettpunktsformelen	$y - y_{1} = a (x - x_{1})$	linje med stigningstall a gjennom (x₁, y₁)
Parallelle og vinkelrette linjer	$a_{1} = a_{2} a_{1} \cdot a_{2} = - 1$
Andregradsfunksjon	$f (x) = a x^{2} + b x + c$	symmetrilinje $x = - \frac{b}{2 a}$
Toppunktform	$f (x) = a (x - p)^{2} + q$	topp- eller bunnpunkt i (p, q)
Potensfunksjon	$f (x) = a \cdot x^{b}$
Eksponentialfunksjon	$f (x) = a \cdot b^{x}$	b er vekstfaktoren, a er startverdien
Rasjonal funksjon	$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$	asymptoter $x = - \frac{d}{c}$ og $y = \frac{a}{c}$
Gjennomsnittlig vekstfart	$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$	stigningstallet til sekanten
Momentan vekstfart	$f^{'} (x)$	stigningstallet til tangenten
Sammensatt funksjon	$(f \circ g) (x) = f (g (x))$
Omvendt funksjon	$y = f (x) \Leftrightarrow x = f^{- 1} (y)$	grafene er speilet om linjen y = x

Derivasjon

1T · R1 · S1 · R2 · S2

Regel	Formel	Merknad
Definisjonen av den deriverte	$f^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$
Konstant	$(c)^{'} = 0$
Potens	${(x^{n})}^{'} = n \cdot x^{n - 1}$	1T · R1 · S1
Konstant faktor og sum	$(c \cdot f)^{'} = c \cdot f^{'} (f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$
Naturlig eksponentialfunksjon	${(e^{x})}^{'} = e^{x} {(e^{k x})}^{'} = k e^{k x}$	R1 · S2
Eksponentialfunksjon	${(a^{x})}^{'} = a^{x} \cdot \ln a$	R1 · S2
Naturlig logaritme	$(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$	R1 · S2
Produktregelen	$(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$	R1
Kvotientregelen	${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}}{v^{2}}$	R1
Kjerneregelen	${(g (u))}^{'} = g^{'} (u) \cdot u^{'}$	R1 · S2
Sinus og cosinus	$(\sin x)^{'} = \cos x (\cos x)^{'} = - \sin x$	R2
Tangens	$(\tan x)^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x} = 1 + \tan^{2} x$	R2
Tangentlikningen	$y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$
Topp- og bunnpunkt	$f^{'} (x) = 0$ og fortegnsskifte i $f^{'}$
Vendepunkt	$f^{″} (x) = 0$ og fortegnsskifte i $f^{″}$	R1 · S2
Krumning	$f^{″} (x) > 0$ : hul side opp, $f^{″} (x) < 0$ : hul side ned	R1 · S2

Integrasjon

R2 · S2

Regel	Formel
Potens	$\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C, n \neq - 1$
Brøk	$\int \frac{1}{x} d x = \ln \| x \| + C$
Naturlig eksponentialfunksjon	$\int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + C$
Eksponentialfunksjon	$\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$
Sinus og cosinus	$\int \sin x d x = - \cos x + C \int \cos x d x = \sin x + C$
Analysens fundamentalteorem	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a), F^{'} = f$
Areal mellom to grafer	$A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x, f \geq g$
Delvis integrasjon	$\int u^{'} \cdot v d x = u \cdot v - \int u \cdot v^{'} d x$
Integrasjon ved variabelskifte	$\int g (u) \cdot u^{'} d x = \int g (u) d u$
Delbrøkoppspalting	$\frac{p x + q}{(x - a) (x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}$
Volum av omdreiningslegeme	$V = π \int_{a}^{b} {(f (x))}^{2} d x$

Differensiallikninger

Type	Likning	Løsning
Eksponentiell vekst	$y^{'} = k y$	$y = C e^{k x}$
Lineær, første orden	$y^{'} + a y = b$	$y = \frac{b}{a} + C e^{- a x}$
Lineær med integrerende faktor	$y^{'} + f (x) y = g (x)$	multipliser med $e^{F (x)}$ , der $F^{'} = f$
Separabel	$g (y) \cdot y^{'} = h (x)$	$\int g (y) d y = \int h (x) d x$
Logistisk vekst	$y^{'} = k y (B - y)$	$y = \frac{B}{1 + C e^{- B k x}}$
Svingelikning	$y^{″} + ω^{2} y = 0$	$y = C_{1} \sin ω x + C_{2} \cos ω x$
Andre orden, homogen	$y^{″} + b y^{'} + c y = 0$	løs r² + br + c = 0; to reelle røtter gir y = C₁e^r₁x + C₂e^r₂x

Vektorer i planet og analytisk geometri

Regel	Formel
Vektor mellom to punkter	$\vec{A B} = [x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}]$
Lengden av en vektor	$\| \vec{u} \| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
Avstand mellom to punkter	$\| A B \| = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
Midtpunkt	$M = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$
Skalarprodukt	$\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \cos α = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$
Vinkelrette vektorer	$\vec{u} ⟂ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
Parallelle vektorer	$\vec{u} ∥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} = t \cdot \vec{v}$
Parameterframstilling av linje	$x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t$
Sirkellikning	$(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2}$

Vektorer i rommet

Regel	Formel
Lengden av en vektor	$\| \vec{u} \| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$
Skalarprodukt	$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$
Vektorprodukt	$\vec{u} \times \vec{v} = [y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}, z_{1} x_{2} - x_{1} z_{2}, x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}]$
Areal av parallellogram og trekant	$A = \| \vec{u} \times \vec{v} \| A_{△} = \frac{1}{2} \| \vec{u} \times \vec{v} \|$
Volum av parallellepiped og tetraeder	$V = \| (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} \| V_{tetraeder} = \frac{1}{6} \| (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} \|$
Linje i rommet	$x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$
Likning for plan med normalvektor [a, b, c]	$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$
Avstand fra punktet (x₁, y₁, z₁) til planet ax + by + cz + d = 0	$avstand = \frac{\| a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d \|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$
Kulelikning	$(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = r^{2}$

Trigonometriske funksjoner og identiteter

Regel	Formel
Radianer og grader	$π rad = 180^{\circ}$
Enhetsformelen	$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$
Tangens	$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
Sum og differanse av vinkler	$\sin (u \pm v) = \sin u \cos v \pm \cos u \sin v$
	$\cos (u \pm v) = \cos u \cos v \mp \sin u \sin v$
Dobbel vinkel	$\sin 2 u = 2 \sin u \cos u \cos 2 u = \cos^{2} u - \sin^{2} u$
Sinusfunksjon	$f (x) = A \sin (c x + φ) + d$ , amplitude $\| A \|$ , periode $\frac{2 π}{c}$ , likevektslinje $y = d$
Sum av sinus og cosinus (φ ligger i samme kvadrant som punktet (a, b))	$a \sin x + b \cos x = A \sin (x + φ), A = \sqrt{a^{2} + b^{2}}, \tan φ = \frac{b}{a}$
Likningen sin x = a	$x = \arcsin a + n \cdot 2 π eller x = π - \arcsin a + n \cdot 2 π$
Likningen cos x = a	$x = \pm \arccos a + n \cdot 2 π$
Likningen tan x = a	$x = \arctan a + n \cdot π$

Følger og rekker

R2 · S2

Regel	Formel
Aritmetisk følge	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$
Aritmetisk rekke	$S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}$
Geometrisk følge	$a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$
Geometrisk rekke	$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1}, k \neq 1$
Uendelig geometrisk rekke	$S = \frac{a_{1}}{1 - k}, - 1 < k < 1$
Summetegnet	$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$
Induksjonsbevis	Vis at påstanden gjelder for n = 1. Anta at den gjelder for n = k, og vis at den da gjelder for n = k + 1. (R2)
Sparing, sluttverdi (n innskudd)	$S = a \cdot \frac{v^{n} - 1}{v - 1}$
Annuitetslån, nåverdi	$L = \frac{a}{v} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{v})}^{n}}{1 - \frac{1}{v}}$

Statistikk

1P · 2P · S2

Størrelse	Formel
Gjennomsnitt	$\overset{―}{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} = \frac{\sum x_{i}}{n}$
Gjennomsnitt fra frekvenstabell	$\overset{―}{x} = \frac{\sum x_{i} \cdot f_{i}}{n}$
Median	Den midterste verdien når dataene er sortert. Ved partall antall: gjennomsnittet av de to midterste.
Typetall	Verdien som forekommer flest ganger.
Variasjonsbredde	$største verdi - minste verdi$
Kvartilbredde	$Q_{3} - Q_{1}$
Relativ frekvens	$\frac{frekvens}{antall observasjoner}$
Standardavvik (populasjon)	$σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \overset{―}{x})^{2}}{n}}$
Standardavvik (utvalg)	$s = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \overset{―}{x})^{2}}{n - 1}}$

Sannsynlighet

1P · 1T · R1 · S1

Regel	Formel
Uniform sannsynlighetsmodell	$P (A) = \frac{antall gunstige utfall}{antall mulige utfall}$
Komplementsetningen	$P (\bar{A}) = 1 - P (A)$
Addisjonssetningen	$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
Betinget sannsynlighet	$P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$
Produktsetningen	$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$
Uavhengige hendelser	$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$
Total sannsynlighet	$P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\bar{A}) \cdot P (B ∣ \bar{A})$
Bayes’ setning	$P (A ∣ B) = \frac{P (A) \cdot P (B ∣ A)}{P (B)}$

Kombinatorikk og fordelinger

R1 · S1 · S2

Regel	Formel
Fakultet	$n! = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1, 0! = 1$
Ordnet utvalg med tilbakelegging	$n^{r}$
Ordnet utvalg uten tilbakelegging	$_{n} P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!}$
Uordnet utvalg uten tilbakelegging	$_{n} C_{r} = (\binom{n}{r}) = \frac{n!}{r! (n - r)!}$
Binomisk fordeling	$P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
Hypergeometrisk fordeling (trekker r av n, der m er av den typen som telles)	$P (X = k) = \frac{(\binom{m}{k}) (\binom{n - m}{r - k})}{(\binom{n}{r})}$

Forventning, varians og normalfordeling

Størrelse	Formel
Forventningsverdi	$E (X) = μ = \sum x_{i} \cdot P (X = x_{i})$
Varians	$Var (X) = \sum (x_{i} - μ)^{2} \cdot P (X = x_{i})$
Standardavvik	$σ = \sqrt{Var (X)}$
Lineær transformasjon	$E (a X + b) = a E (X) + b Var (a X + b) = a^{2} Var (X)$
Binomisk fordeling	$E (X) = n p Var (X) = n p (1 - p)$
Sum av n uavhengige variabler	$E (S) = n μ σ_{S} = \sqrt{n} σ$
Gjennomsnitt av n uavhengige variabler	$E (\overset{―}{X}) = μ σ_{\overset{―}{X}} = \frac{σ}{\sqrt{n}}$
Standardisering	$Z = \frac{X - μ}{σ}$
Sannsynlighet i normalfordeling	$P (X \leq x) = Φ (\frac{x - μ}{σ})$
Sentralgrensesetningen	Summen og gjennomsnittet av mange uavhengige, likt fordelte variabler er tilnærmet normalfordelt.
95 % konfidensintervall for μ	$\overset{―}{x} \pm 1,96 \cdot \frac{σ}{\sqrt{n}}$
95 % konfidensintervall for p	$\hat{p} \pm 1,96 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}$
Hypotesetest for μ (σ kjent)	$Z = \frac{\overset{―}{X} - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}$
Hypotesetest for p	$Z = \frac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{p_{0} (1 - p_{0}) / n}}$
Signifikansnivå og p-verdi	Forkast H₀ når p-verdien er mindre enn signifikansnivået α. Med α = 5 %: ensidig test forkaster når Z > 1,645 (eller Z < −1,645), tosidig test når \|Z\| > 1,96.

Standard normalfordeling

Φ(z) = P(Z ≤ z). For negative z: Φ(−z) = 1 − Φ(z).

z	Φ(z)	Bruk
0	0,5000	halvparten under forventningen
1	0,8413	68 % innenfor μ ± σ
1,282	0,9000	10 % ensidig signifikansnivå
1,645	0,9500	5 % ensidig, 90 % tosidig
1,960	0,9750	95 % konfidensintervall
2	0,9772	95 % innenfor μ ± 2σ
2,326	0,9900	1 % ensidig signifikansnivå
2,576	0,9950	99 % konfidensintervall
3	0,9987	99,7 % innenfor μ ± 3σ

Tabellen viser P(Z ≤ z) for −3,09 ≤ z ≤ 3,09, samme oppsett som tabellen Udir legger ved eksamen i S2. Første desimal står i venstre kolonne og andre desimal øverst. Eksempel: P(Z ≤ 1,96) finner du i raden 1,9 og kolonnen 0,06: 0,9750. For negative z leser du på samme måte: P(Z ≤ −1,96) står i raden −1,9 og kolonnen 0,06.

Negative z-verdier

z	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
−3,0	0,0013	0,0013	0,0013	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010
−2,9	0,0019	0,0018	0,0018	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014
−2,8	0,0026	0,0025	0,0024	0,0023	0,0023	0,0022	0,0021	0,0021	0,0020	0,0019
−2,7	0,0035	0,0034	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026
−2,6	0,0047	0,0045	0,0044	0,0043	0,0041	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036
−2,5	0,0062	0,0060	0,0059	0,0057	0,0055	0,0054	0,0052	0,0051	0,0049	0,0048
−2,4	0,0082	0,0080	0,0078	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0068	0,0066	0,0064
−2,3	0,0107	0,0104	0,0102	0,0099	0,0096	0,0094	0,0091	0,0089	0,0087	0,0084
−2,2	0,0139	0,0136	0,0132	0,0129	0,0125	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110
−2,1	0,0179	0,0174	0,0170	0,0166	0,0162	0,0158	0,0154	0,0150	0,0146	0,0143
−2,0	0,0228	0,0222	0,0217	0,0212	0,0207	0,0202	0,0197	0,0192	0,0188	0,0183
−1,9	0,0287	0,0281	0,0274	0,0268	0,0262	0,0256	0,0250	0,0244	0,0239	0,0233
−1,8	0,0359	0,0351	0,0344	0,0336	0,0329	0,0322	0,0314	0,0307	0,0301	0,0294
−1,7	0,0446	0,0436	0,0427	0,0418	0,0409	0,0401	0,0392	0,0384	0,0375	0,0367
−1,6	0,0548	0,0537	0,0526	0,0516	0,0505	0,0495	0,0485	0,0475	0,0465	0,0455
−1,5	0,0668	0,0655	0,0643	0,0630	0,0618	0,0606	0,0594	0,0582	0,0571	0,0559
−1,4	0,0808	0,0793	0,0778	0,0764	0,0749	0,0735	0,0721	0,0708	0,0694	0,0681
−1,3	0,0968	0,0951	0,0934	0,0918	0,0901	0,0885	0,0869	0,0853	0,0838	0,0823
−1,2	0,1151	0,1131	0,1112	0,1093	0,1075	0,1056	0,1038	0,1020	0,1003	0,0985
−1,1	0,1357	0,1335	0,1314	0,1292	0,1271	0,1251	0,1230	0,1210	0,1190	0,1170
−1,0	0,1587	0,1562	0,1539	0,1515	0,1492	0,1469	0,1446	0,1423	0,1401	0,1379
−0,9	0,1841	0,1814	0,1788	0,1762	0,1736	0,1711	0,1685	0,1660	0,1635	0,1611
−0,8	0,2119	0,2090	0,2061	0,2033	0,2005	0,1977	0,1949	0,1922	0,1894	0,1867
−0,7	0,2420	0,2389	0,2358	0,2327	0,2296	0,2266	0,2236	0,2206	0,2177	0,2148
−0,6	0,2743	0,2709	0,2676	0,2643	0,2611	0,2578	0,2546	0,2514	0,2483	0,2451
−0,5	0,3085	0,3050	0,3015	0,2981	0,2946	0,2912	0,2877	0,2843	0,2810	0,2776
−0,4	0,3446	0,3409	0,3372	0,3336	0,3300	0,3264	0,3228	0,3192	0,3156	0,3121
−0,3	0,3821	0,3783	0,3745	0,3707	0,3669	0,3632	0,3594	0,3557	0,3520	0,3483
−0,2	0,4207	0,4168	0,4129	0,4090	0,4052	0,4013	0,3974	0,3936	0,3897	0,3859
−0,1	0,4602	0,4562	0,4522	0,4483	0,4443	0,4404	0,4364	0,4325	0,4286	0,4247
−0,0	0,5000	0,4960	0,4920	0,4880	0,4840	0,4801	0,4761	0,4721	0,4681	0,4641

Positive z-verdier

z	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
2,2	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
2,7	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
2,9	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
3,0	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990

Økonomiske modeller

S1 · S2

Størrelse	Formel
Inntekt	$I (x) = p \cdot x$
Overskudd	$O (x) = I (x) - K (x)$
Grenseinntekt og grensekostnad	$I^{'} (x) og K^{'} (x)$
Størst overskudd	$I^{'} (x) = K^{'} (x)$
Enhetskostnad	$A (x) = \frac{K (x)}{x}$
Lavest enhetskostnad	$A (x) = K^{'} (x)$

Merkene viser hvilke fag formlene hører til etter læreplanen (LK20). Sjekk alltid hvilke hjelpemidler som er tillatt på eksamen.

Fag & kurs

Ungdomsskole

Videregående skole

Universitet / Høgskole

Eksamensløsninger